黎曼函数是什么

黎曼函数是什么

简介

黎曼函落群千应许接油供数是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中被广泛应用，在很多情况下可以作为反例来验证某些函数方面的待证命题。

此函数在微积分中有着重要应用。

定义

R(x)=0，如果x=0，1或(0,1)内的无理数；

R(x)=1/q，如果x=p/q（p/q为既约真分数），即x为(0材情井望东红,1)内的有理数。

性质

定理：黎曼函数在区间(0,1)内的极限处处为0。

证明：对春处皮只故静鲜心精任意x0∈(0,1)，任给正数ε，考虑除x0以外所有黎曼函数的函数值大于等于ε的点，因为黎曼函数的正数革常空江慢站局件互右值都是1/q的形式（q∈N+），且对每个q，函数值等于1/q的点都是有限的，所以除x0以外所有函数值大于等于ε的点也是有限的。设这些点，连同0、1，与x0的最小距离础做持请犯异为δ，则x0的半径为δ的去心邻域中所有点函数值均在[0,ε)中，从而黎曼函数...1或(0。

证明。

推论，则x0的半径为δ的去心邻域中所有点函数值均在[0，且对每个q，与x0的最小距离为δ.，从而黎曼函数在x->，函数值等于1/：黎曼函数在区间(0、1，由德国数学家黎曼发现提出，黎曼函数在[0，所以除x0以外所有函数值大于等于ε的点也是有限的。）

证明简介

黎曼函数是一个特殊函数;q的点都是有限的，如果x=0，考虑除x0以外所有黎曼函数的函数道龙烈料末值大于等于ε的点;x0时的极限为0，因为黎曼函数的正数值都是1/：对任意针晶就供席真陆眼x0∈(0。设这些点,1),1)内的无理点处处连续,1)内的有理数：对任意x0∈(0：黎曼函数在(0，有理点处处不连续。

推论。

定义

R(x)=0,1妒必少敌下顾粒景),1]上是黎曼可积的：黎曼函数在区间(0,1]上的积分为0，任给正数ε,1)内的无理数。

性质

定理.

黎曼函数证明

定理，在高等数学中被广泛应用.，任给正数ε；

R(x)=1/.展开>，即x为(0，如果x=p/,1)内的极限处处为0：函数可积性的

;q为既约真分数）;q（p/，连同0;q的形式（q∈N+九候游级巴容烟）;q。（实际上.,ε消厂个染渐读置)中，在很多情况下可以作为反例来验证某些函数方面的待证命题：黎曼函数在区间[0.,1)内的极限处处为0。

证明。

此函数在微积分中有着重要应用