勾股定理的证明方法

勾股定理的证明方法

勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方,即在以a、b为直角边，c为斜边的三角形中有a²+b²=c²。

证法一（邹元治证明）：

以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，按下图所示相拼，使A、E、B三点共线，B、F、C 三点共线，C、G、D三点共线。

∵Rt△HAE≌Rt△EBF

∴∠AHE=∠BEF

∵∠AHE+∠AEH=90°

∴∠BEF+∠AEH=90°

∵A、E、B共线

∴∠HEF=90°，四边形EFGH为正方形

由于上图中的四个直角三角形全等，易得四边形ABCD为正方形

∴正方形ABCD的面积=四个直角三角形的面积+正方形EFGH的面积

∴(a+b)^2=4•（1/2）•ab+c²，整理得a²+b²=c²。

证法二（课本的证明）：

如上图所示两个边长为a+b的正方形面积相等，所以a²+b²+4•（1/2）•ab=c²+4•（1/2）•ab，故a²+b²=c²。

证法三（赵爽弦图证明）：以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，按下图所示相拼。易得四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形∴正方形ABCD的面积=四个直角三角形的面积+正方形EFGH的面积∴c²=4•（1/2）•ab+(b-a)² ，整理得a²+b²=c²。

证法四（总统证明）：如下图所示。易得△CDE为等腰直角三角形∴梯形ABCD的面积=两个直角三角形的面积+一个等腰三角形的面积∴1/2•（a+b）•（a+b）=2•（1/2）•ab+（1/2）•c²，整理得a²+b²=c²。