Simone导数的定义基本运算几何意义及应用举例D5
的有关信息介绍如下：
本文通过例题，详细介绍导数的定义理解、基本运算过程、导数的几何意义应用及导数判断函数单调性应用等内容。
[知识点]：函数y=f(x)的导数的极限定义为：f'(x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/(△x).
例题1：设函数f(x)在x=11处的导数为4，则极限lim(△x→0)[f(11+8△x)-f(11)]/(30△x)的值是多少？
解：本题考察的是导数的极限定义，本题已知条件导数为4，其定义为：lim(△x→0)[f(11+△x)-f(11)]/(△x)= 4。
对所求极限进行变形有：
lim(△x→0) 8*[f(11+8△x)-f(11)]/(30*8△x)
=lim(△x→0) (8/30)*[f(11+8△x)-f(11)]/(8△x),
=(8/30)lim(△x→0) [f(11+8△x)-f(11)]/(8△x),
=(8/30)*4,
=16/15.
例题2:有一机器人的运动场沫方程为s(t)=14t²+62/t(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t=7时的肤夏瞬时速度为多少？
解:本题考察的是导数定义知识，运动方欠狠沃程s(t)对时间t的导数就是速度v(t),所以有：
v(t)=s'(t)=(14t²+62/t)',
=2*14t-62/t²,
当t=7时，有：
v(7)=2*14*7-62/7²,
v(7)=1310/49,
所以机器人在时刻t=7时的瞬时速度为1310/49。
例题1：已知函数f(x)=(36x-103)lnx-20x²,求导数f'(1)的值。
解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积的求导法则，具体计算步骤如下。
∵f(x)= (36x-103)lnx-20x²，
∴f'(x)=36lnx+(36x-103)*(1/x)-2*20x
=36lnx+(36x-103)/x-40x.
所以: f'(1)=0+36-103-40=-107.
即为本题所求的值。
例题2:已知函数f(x)=-(13/4)x²+7xf'(800)+800lnx，求f'(800)的值。
解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积和函数导数相关定义知识，具体计算步骤如下。
∵f(x)=-(13/4)x²+7xf'(800)+800lnx，
∴f' (x)=-2*(13/4)x+7f'(800)+800/x,
则当x=800时，有:
f'(800)=-2*(13/4)*800+7f'(800)+800/800,
即:-2*(13/4)*800+6f'(800)+1=0,
所以: f'(800)= 1733/2.
例题1：求函数f(x)=x(18x+22)³的图像在点(1,f(1))处的切线的斜率k。
[知识点]：导数的几何意义就是曲线上点的切斜的斜率。
解：本题对函数求导有：
f' (x)=(18x+22)³+3x(18x+22)²*18
=(18x+22)²*(18x+22+3*18x)
=(18x+22)²*(4*18x+22)
当x=1时，有：
斜率k=f'(1)
=(18*1+22)²*(4*18*1+22)
=1600*94
=150400，即为本题所求的值。
例题2：若曲线y=94x/21-2lnx在x=x₀处的切斜的斜率为26/6,则x₀的值是多少?
解：对曲线y进行求导，有：
y'=94/21-2/x，
根据导数的几何意义，当x=x₀时，有：
94/21-2/x₀=26/6，
即：2/x₀=94/21-26/6=1/7,
所以x₀=14.
[知识点]：如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)在区间D内单调减少。
例题1:已知函数f(x)=-4lnx+5x²/23+124，计算函数f(x)的单调递减区间。
解：对函数进行求导，有：
∵f(x)=- 4lnx+5x²/23+124
∴f'(x)=- 4/x+2*5x/23，
本题要求函数的单调减区间，则：
-4/x+2*5x/23＜0，
(-4*23+2*5x²)/(23x)＜0，
又因为函数含有对数lnx，所以x＞0.
故不等式解集等同于：
2*5x²＜4*23，
即：x²＜46/5,
所以解集为：(0,(1/5)*√230).
例题2:已知函数f(x)=(x²+48x+650)/eˣ，求函数f(x)的单调区间。
解：对函数求一阶导数有：
∵f(x)=(x²+48x+650)/eˣ
∴f'(x)=[(2x+48)eˣ-(x²+48x+650)eˣ]/e^(2x),
=(2x+48-x²-48x-650)/eˣ,
=-(x²+46x+602)/eˣ,
对于函数g(x)=x²+46x+602，其判别式为：
△=46²-4*602=-292<0,
即：g(x)图像始终在x轴的上方，即g(x)＞0，
此时:f'(x)= -(x²+46x+602)/eˣ＜0，
所以函数f(x)=(x²+48x+650)/eˣ在全体实数范围上为单调减函数。
