怎么把一个3阶方阵，写成若干初等矩阵的乘积

怎么把一个3阶方阵，写成若干初等矩阵的乘积

一个可逆矩阵A，可以通过左乘若干初等矩阵，化为单位矩阵。

那么，这若干初等矩阵的逆矩阵，按倒序相乘，就可以得到矩阵A。

下面，我就一步一步的把一个三阶方阵分解开。

给定三阶方阵A：

A={{a,b,c},{d,e,f},{p,q,r}}

开始一步一步的进行行约简：

先把第一行的第一个数字变成1，也就是用初等矩阵u来左乘A：

u = {{1/a, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}};

让第二行第一个数字变成0：

把第三行乘以-d/p，加到第二行上；

这个过程对应的初等矩阵是：

v=I+(-d/p)*e_(2,3)

= {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}} + {{0, 0, 0}, {0, 0, -d/p}, {0, 0, 0}};

再把第一行乘以-p，加到第三行上；对应的初等矩阵是：

w=I+(-p)*e_(3,1)

={{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}} + {{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {-p, 0, 0}};

再把第三行第二个元素变成0：

第二行乘以-(p (-b p + a q))/(a (e p - d q))，加到第三行上；

对应的初等矩阵是——

x=I+(-(p (-b p + a q))/(a (e p - d q)))*e_(3,2)

={{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}

+{{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, -(p (-b p + a q))/(a (e p - d q)), 0}};

注意看，此时的x.(w.(v.(u.A)))是上三角矩阵。

把第三行的第三个元素变成1：

也就是左乘矩阵初等矩阵y——

y={{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, (a (e p - d q))/(p (-c e p + b f p + c d q - a f q - b d r + a e r))}}

把第二行第三个元素变成0：

第三行乘以(-f+(d r)/p)，加到第二行上就可以了。

再把第二行的第二个元素变成1：

左乘m，

m = {{1, 0, 0}, {0, -(p/(-e p + d q)), 0}, {0, 0, 1}};

把第一行第二个元素变成0，就是用第二行乘以(-b/a)，加到第一行；

把第一行第三个元素变成0，就是用第三行乘以(-c/a)，加到第一行。

最后得到的o.(n.(m.(z.(y.(x.(w.(v.(u.A))))))))就是单位矩阵。

这样，o.(n.(m.(z.(y.(x.(w.(v.u)))))))就是A的逆矩阵。

反过来，假设u的逆矩阵是u'，那么u'也是初等矩阵，所以，A可以写成：

u'.v'.w'.x'.y'.z'.m'.n'.o'

而初等矩阵的逆矩阵是很容易求出的。